Розв’язування

1. Визначаємо складові головного вектора і головний момент сил інерції для диска, стержня та вантажу, коли за точку зведення сил інерції візьмемо точку на осі обертання вала. Тоді для кожного тіла механічної системи будемо мати:

а). Диск 1. Оскільки диск обертається нерівномірно і вісь обертання не проходить через його центр мас, то сили інерції зводимо до головного вектора сил інерції, прикладеного в центрі мас диска і головного моменту сил інерції відносно осі обертання . Головний вектор сил інерції розкладемо на відцентрову (нормальну) і обертальну (дотичну) складові.

Відцентрова складова дорівнює

і направлена паралельно до осі y в протилежний бік до напрямку доцентрового (нормального) прискорення центра мас ( - кутова швидкість вала).

Обертальна складова дорівнює

і направлена паралельно до осі в протилежний бік до напрямку дотичного прискорення центра мас ( - кутове прискорення вала).

Головний момент сил інерції диска відносно осі обертання дорівнює

і направлений у протилежний бік до напрямку кутового прискорення ;

Момент інерції диска відносно осі визначаємо за теоремою Штейнера

,

де - момент інерції диска відносно осі, що проходить через його центр мас, паралельній до осі обертання .

З урахуванням цього вираз для головного моменту сил інерції набуває вигляду

.

Напрямки дії складових головного вектора і головного моменту сил інерції диска показані на рис. 1.19.

б). Стержень 2. Визначаємо складові головного вектора сил інерції , прикладеного в центрі мас стержня 2, та головного моменту сил інерції .

Відцентрова складова дорівнює

і направлена паралельно до осі у в протилежний бік до напрямку доцентрового (нормального) прискорення центра мас стержня .

Обертальна складова дорівнює

і направлена паралельно до осі x в протилежний бік до напрямку дотичного прискорення центра мас .

Головний момент сил інерції стержня відносно осі обертання дорівнює

і направлений у протилежний бік до напрямку кутового прискорення . Момент інерції стержня відносно осі визначаємо за формулою:

.

З урахуванням цього записуємо вираз для головного моменту сил інерції стержня

.

Напрямки дії складових головного вектора і головного моменту сил інерції стержня показані на рис. 1.19.

в). Вантаж 3. Визначимо складові головного вектора сил інерції вантажу, який розміщений у в точці .

Відцентрова складова дорівнює

і направлена паралельно до осі у в протилежний бік до напрямку доцентрового прискорення вантажу .

Обертальна складова дорівнює

і направлена паралельно до осі х в протилежний бік до напрямку дотичного прискорення вантажу .

Оскільки вантаж з’єднаний з валом невагомим нерозтяжним тонким стержнем, то головний момент сил інерції вантажу дорівнює нулеві.

Зауважимо, що головні моменти сил інерції диска і стержня обчислені відносно осі обертання . Тому для подальших розрахунків потрібно складові головних векторів сил інерції диска, стержня і вантажу, визначені відносно центрів мас , перенести в нові точки зведення , які розташовані на осі обертання . При такому виборі точок зведення величина і напрям складових сил інерції для заданих тіл механічної системи є незмінними.

2. Складаємо рівняння кінетостатики для системи тіл (рис. 1.19).

У проекціях на осі та з урахуванням зауважень у п.1 систему рівнянь кінетостатики запишемо так:

3. Розв’язуємо систему рівнянь кінетостатики.

Для визначення складових сил інерції необхідно знати величину кутового прискорення і кутової швидкості у момент часу Для цього використаємо останнє рівняння із системи рівнянь кінетостатики, в яке підставимо вирази для головного моменту сил інерції диска та стержня і отримаємо:

З цього рівняння визначаємо :

Оскільки вал обертається рівноприскорено, то кутова швидкість у момент часу дорівнює:

Решту 5 рівнянь кінетостатики використаємо для визначення реакцій в'язей у підшипнику та у підп’ятнику . Однак, спочатку обчислимо значення сил інерції за вищенаведеними формулами:

З рівнянь кінетостатики маємо:

Відповідь: реакції в'язей у підшипнику: реакції в'язей у підшипнику: